معادلات برآوردتعمیم یافته

معادلات برآوردیابی تعمیم‌یافته یا GEE (Generalized Estimating Equations) یکی از روش‌های قدرتمند آماری برای تحلیل داده‌های همبسته است، به‌ویژه وقتی که داده‌ها به صورت طولی (longitudinal) یا خوشه‌ای (clustered) جمع‌آوری شده‌اند. این روش توسط Liang و Zeger در سال 1986 معرفی شد و در مواردی کاربرد دارد که مشاهدات به‌طور مستقل از یکدیگر نیستند، مانند اندازه‌گیری‌های مکرر بر روی یک فرد در طول زمان.

 🔶کاربرد اصلیGEE

GEEبرای مدل‌سازی میانگین پاسخ(marginal model)در داده‌های همبسته استفاده می‌شود. در حالی که مدل‌های دیگری مثل مدل‌های اثرات تصادفی(Mixed Models) روی تفاوت‌های فردی تمرکز دارند،GEEروی تخمین تأثیر متغیرهای پیش‌بین بر پاسخ کلی تمرکز دارد.

• 🔶نکات کلیدی درGEE

• .مدل‌سازی همبستگی درون‌خوشه‌ای(Working Correlation Structure)

GEEفرض می‌کند که ما می‌توانیم ساختاری برای همبستگی بین مشاهدات در یک خوشه (مثلاً مشاهدات مربوط به یک فرد) تعیین کنیم. انواع رایج ساختار همبستگی عبارت‌اند از:

• مستقل(Independent)
• تبادل‌پذیر(Exchangeable):همه مشاهدات داخل خوشه همبستگی یکسان دارند.
• خودهمبسته مرتبه اول(AR(1)):مشاهدات نزدیک‌تر همبستگی بیشتری دارند.
• بدون ساختار(Unstructured):هر جفت مشاهدات می‌تواند همبستگی متفاوتی داشته باشد.

نکته مهم: حتی اگر این ساختار به‌درستی مشخص نشود،GEEهمچنان تخمینی سازگار(consistent) از پارامترها ارائه می‌دهد، اما ممکن است بازده آماری کاهش یابد.

• 2.استفاده از کواریانس خوشه‌ای(Robust Sandwich Estimator)

برای تخمین انحراف معیار پارامترها، از تخمین‌گرrobust (که به"sandwich estimator"معروف است)استفاده می‌شود تا حتی اگر ساختار همبستگی به‌درستی مشخص نشده باشد، برآوردهای قابل اعتمادی به‌دست آوریم.

• 🔶مزایا و معایبGEE

• ✅مزایا:
• مناسب برای داده‌های همبسته و تکراری
• تخمین سازگار حتی با اشتباه در ساختار همبستگی
• قابل استفاده با توزیع‌های مختلف (از طریق مدل‌های خطی تعمیم‌یافته)
• ❌معایب:

• فقط مدل‌سازی میانگین(نه واریانس و اثرات فردی مثلmixed models)
• برای داده‌های گمشده حساس است مگر این‌کهMissing Completely at Random (MCAR)باشد
• مناسب‌تر برای داده‌های سطح جمعیت(population-averaged) نه فردی

• 🔶تفاوتGEEبا مدل‌های اثرات تصادفی(Mixed Models)

• 🔶مثال ساده:

فرض کنید می‌خواهیم اثر ورزش روزانه روی فشار خون را در طول یک ماه بررسی کنیم. فشار خون هر شرکت‌کننده در چند روز مختلف اندازه‌گیری شده است. از آنجا که داده‌ها برای هر فرد تکرار شده‌اند، مشاهدات همبسته‌اند. GEEبه ما کمک می‌کند تا اثر ورزش را بدون نیاز به مدل‌سازی دقیق تفاوت‌های فردی، بررسی کنیم.

📚 منابع اصلی علمی و دانشگاهی

1. Liang, K. Y., & Zeger, S. L. (1986).

   • Longitudinal data analysis using generalized linear models.

   • Biometrika, 73(1), 13–22.

   • 📌 این مقاله پایه‌گذار روش GEE است و هنوز هم مرجع اصلی محسوب می‌شود.

2. Hardin, J. W., & Hilbe, J. M. (2012).

   • Generalized Estimating Equations, Second Edition.

   • CRC Press.

   • 📌 یکی از جامع‌ترین کتاب‌ها درباره‌ی GEE که مفاهیم نظری و کاربردی را با مثال‌های نرم‌افزاری ترکیب کرده است.

3. Fitzmaurice, G. M., Laird, N. M., & Ware, J. H. (2011).

   • Applied Longitudinal Analysis, Second Edition.

   • Wiley-Interscience.

   • 📌 یکی از بهترین منابع برای تحلیل داده‌های طولی، شامل فصلی ویژه برای GEE.

4. Diggle, P. J., Heagerty, P., Liang, K. Y., & Zeger, S. L. (2002).

   • Analysis of Longitudinal Data, Second Edition.

   • Oxford University Press.

   • 📌 تمرکز بر مدل‌های طولی، با شرح دقیق تئوری GEE.

🖥️ مستندات نرم‌افزاری

5. StataCorp. (2021).

   • Stata Longitudinal Data/Panel Data Reference Manual.

   • 📌 فصل مربوط به xtgee برای پیاده‌سازی GEE در Stata.

6. R Documentation - geepack package.

   • Højsgaard, S., Halekoh, U., & Yan, J. (2006).

   • 📌 مستندات بسته‌ی geepack برای تحلیل GEE در R.

   • لینک: https://cran.r-project.org/web/packages/geepack/