آزمون نرمال بودن Cramer-von Mises در R

آزمون Cramer-von Mises یکی از روش‌های آماری برای آزمون فرضیه نرمال بودن توزیع داده‌ها است. این آزمون از آماره Cramer-von Mises استفاده می‌کند تا اندازه اختلاف میان توزیع نمونه و توزیع نرمال مورد انتظار را اندازه‌گیری کند. در زیر توضیحات بیشتری در مورد این آزمون آمده است:
1. تعریف آزمون Cramer-von Mises:
آزمون Cramer-von Mises از توزیع تجمعی انباشته (ECDF) برای مقایسه دو توزیع استفاده می‌کند. این آزمون بر اساس مربع اختلاف بین توزیع مشاهده‌شده و توزیع نرمال مورد انتظار است.

2. مراحل اجرای آزمون Cramer-von Mises:
فرض صفر (H0): داده‌ها از یک توزیع نرمال استفاده شده‌اند.
آماره آزمون (آماره Cramer-von Mises): این آماره بر اساس مجموع مربع اختلاف بین توزیع مشاهده‌شده و توزیع نرمال مورد انتظار محاسبه می‌شود.
محاسبه مقدار p-value: با استفاده از آماره آزمون، مقدار p-value محاسبه می‌شود. اگر p-value کمتر از سطح اهمیت مشخص شده (مثلاً 0.05) باشد، فرض صفر رد می‌شود.
3. مزیت‌ها و محدودیت‌ها:
مزیت‌ها:
حساسیت به تغییرات در میانگین و واریانس داده‌ها.
برخورداری از توزیع دقیق در مورد مقایسه توزیع‌های نرمال.
محدودیت‌ها:
حساسیت نسبت به انحراف‌های از نرمالیتی در دم‌های دور توزیع.
نیاز به حجم نمونه‌های کافی برای دقت بالا.
4. نحوه محاسبه آماره Cramer-von Mises:
آماره Cramer-von Mises معمولاً با استفاده از مجموع مربع اختلاف بین توزیع انباشته مشاهده‌شده و توزیع انباشته نرمال محاسبه می‌شود.
در R یا برنامه‌های آماری دیگر، این آزمون معمولاً به صورت آماده در دسترس است. به عنوان مثال در R:

در اینجا goftest یکی از پکیج‌های R است که این آزمون را اجرا می‌کند.

References

Braun, H. (1980) A simple method for testing goodness-of-fit in the presence of nuisance parameters. Journal of the Royal Statistical Society 42, 53–63.

Csorgo, S. and Faraway, J.J. (1996) The exact and asymptotic distributions of Cramer-von Mises statistics. Journal of the Royal Statistical Society, Series B 58, 221–234.

مثال دوم:

library(goftest)

#make this example reproducible
set.seed(0)

#create dataset of 100 random values generated from a Poisson distribution
data <- rpois(n=100, lambda=3)

#perform Cramer-Von Mises test for normality
cvm.test(data, 'pnorm')

	Cramer-von Mises test of goodness-of-fit
	Null hypothesis: Normal distribution
	Parameters assumed to be fixed

data:  data
omega2 = 27.96, p-value < 2.2e-16

مثال سوم:

library(goftest)

#make this example reproducible
set.seed(0)

#create dataset of 100 random values generated from a normal distribution
data <- rnorm(100)

#perform Cramer-Von Mises test for normality
cvm.test(data, 'pnorm')

	Cramer-von Mises test of goodness-of-fit
	Null hypothesis: Normal distribution
	Parameters assumed to be fixed

data:  data
omega2 = 0.078666, p-value = 0.7007